遠山啓 「代数的構造」 構造の持つ美しさ

数学は、始まりの頃から数や図形などの具体的な対象を扱っていたのが、20世紀になって構造という概念も扱うようになった。正確に言うと、数学は以前から構造を扱っていたのであろうが、意識的には扱っていなかった。それが、ヒルベルトによる「幾何学の基礎」によって意識的に構造が扱われ、現代数学が確立した。

構造という概念が数学へ及ぼした第一の影響は、数学の対象範囲が大きく広がったことである。それまでは数や図形が対象であったのが、命題や論理なども数学の対象に入ってきた。そして、構造という概念は、数学と諸科学との関係を多様で密接なものへと変化させた。著者は、数学が「構造の科学」へと発展した結果であると表現している。

構造の概念がもたらした第二の影響は、構成的方法の出現であると、著者は述べている。現代以前の数学で中心となっていた微分積分学は、現実世界の諸現象を忠実に写し出し、精密に分析することに主眼があった。そこには現実との乖離はない。しかし、構成的方法によると、現実には存在しない対象物を扱うことが可能になる。これは意味があることであろうか。今のところ数学では、数学内部で整合性が取れているかどうか、つまり矛盾が無いかによって、現実に存在しない空想的な対象物の存在を保証している。そういう意味では、ヒルベルトが押し開いた現代数学という世界は、実在と数学の関係について大きな問いを投げかけたことにもなる。

構造の議論を、著者は、ここでもう少し掘り下げている。果たして、内部整合性が取れていれば、それだけで充分であろうか。著者は、”良い数学的構造”であるためには、内部整合性だけは不十分で、その数学的構造が実在の中にあまねく内在していることが必要だと言っている。更に、人間にとって考えやすいもの、つまり審美的であることも必要だろうという。現実世界に内在し、しかも美しくなければ、数学的構造としては意味を成さないというのである。


数学的構造としては、位相的構造、順序の構造、代数的構造がある。本書では、このうちの代数的構造を扱う。

ある集合の2つの要素間に、3つ目の要素を作り出すような関数が定義されているとき、その集合は代数的構造を持つという。例えば、自然数集合の中に加算が定義されている場合、自然数集合は代数的構造を持っている。位相的構造、順序の構造、代数的構造という概念は、互いに排他的であるとは限らず、例えば自然数集合は位相的構造も順序の構造も代数的構造も有しており、3重構造になっているとも言える。

本書では、代数的構造として、群（ぐん）、環（かん）、体（たい）が説明され、ガロア理論の基本が紹介される。この中でも特に群は、正三角形などの正多角形に現れる対称という概念から導き出されるもので、自然数の加法や乗法にも結びついており、更には論理学にもその姿が現れる、非常に偏在的で美しい数学的構造である。非常に簡単な規則（公理）から出発して、これほど豊かな構造の性質が導き出されるのかと驚かされる。

ガロア理論は数学的美しさの極致であろう。N次方程式に一般的な解があるのかという問題に、代数的構造を用いて否定的な解答を与えている。ガロアは、方程式の根には対称性が奥深く潜んでいることに気付いていた。方程式の根を群・環・体で以って表現するとき、根を対称性のある数学的構造として扱うのだが、数式の演算だけでは決して見えなかった解への見通しが与えられるのである。ガロアの功績は方程式問題を解いただけにとどまらず、群理論の適用範囲の広さを数学者に認識させ、新たな数学的構造の扉を開いたところにある。表面からは見えなくとも、事象のうちに対称性を発見することが出来れば、群理論という数学的構造を適用し事象を新しい視点で扱うことが可能になったのである。

本書で扱うのはあくまでも数学であり、読み通すのは決して易しいことではないが、その努力に対しては大いなる報いが与えられる。


「代数的構造」　ちくま学芸文庫　遠山啓著